Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Выполнила
ст. гр. 4219-1
Прожуган Яна
Теорема Минковского о многогранниках
2 слайд
Теорема, о которой пойдет речь, наряду со
знаменитыми теоремами Эйлера, Коши,
Александрова, принадлежит к числу
наиболее удивительных и глубоких
результатов о многогранниках.
●Эта теорема была доказана в 1897 году выдающимся немецким математиком Германом Минковским (1864-1909).
3 слайд
Выпуклые многогранники и их «ежи»
Под выпуклым многогранником будем понимать пространственное тело, являющееся пересечением конечного числа полупространств.
4 слайд
Введем важное понятие опорной плоскости.
Плоскость, имеющая с данным многоранником
общие точки, но оставляющая многогранник по
одну от себя сторону, называется опорной.
5 слайд
Так как многогранник выпуклый, каждая опорная плоскость содержит:
●либо единственную точку многогранника – вершину;
●либо целый отрезок многогранника – его ребро;
●либо целый многоугольник, называемый гранью.
6 слайд
Теорема Минковского
Предположим, что дана система векторов в
трехмерном пространстве с нулевой сумой.
Является ли она ежом какого-нибудь многогранника?
Удивительная теорема Минковского утверждает,
что да, является.
7 слайд
Теорема 1: (Г.Минковский).
Пусть {Fi} - множество векторов в пространстве, отложенных от одной точки, такое, что оно не лежит в одной плоскости. Тогда существует ограниченный многогранник Р, еж которого есть множество векторов. Более того, многогранник Р определен однозначно с точностью до параллельного переноса.
Для единственности многогранника условие выпуклости существенно.
8 слайд
Доказательство, данное Минковским, опирается на
известный из Лагранжа. Другое доказательство было
дано выдающимся росийским геометром А.Д.
Александровым(1912-1999).
9 слайд
Теорема Минковского (точнее, ее
аналог) верна для многогранников
любой
размерности. Для случая плоских
многоугольников она доказывается
несложно.
10 слайд
Центрально-симметричные многогранники
Теорема Минковского чрезвычайно
продуктивна. С ее помощью доказывается ряд
теорем:
Теорема 2: Если еж многогранника Р центрально-
симметричен, то многогранник Р также
центрально-симметричен.
11 слайд
Теорема 3: Выпуклый многогранник Р тогда и только
тогда центрально-симметричен, когда у каждой грани
имеется параллельная грань той же площади.
Теорема 4: Если выпуклый многогранник Р составлен
из конечного числа центрально-симметричных
многогранников Р1, Р2,….,Рк, то и сам многогранник Р
центрально-симметричен.
12 слайд
Многогранники с центрально-симметричными гранями
Грани у центрально-симметричного многогранника не обязательно симметричны. Например, у октаэдра, который является центрально-симметричным многогранником, все грани – треугольники. Так что симметричность граней не является необходимым условием центрально-симметричного многогранника. Но является ли она достаточным условием? Оказывается да, является.
13 слайд
Теорема 5: (А.Д.Александров).
Если все грани выпуклого многогранника Р
центрально-симметричны, то и сам многогранник Р
центрально-симметричный.
Доказательство теоремы Александрова также
опирается на теорему Минковского.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 662 847 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Колмыкова Ольга Ильинична. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.