Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Объём пирамиды.
Геометрия,
11 класс.
Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск
2 слайд
Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO=H.
A
B
C
S
O
H
O1
h
Построим сечение пирамиды, параллельное плоскости основания и находящееся на расстоянии h от её вершины.
Т.к. ABCA1B1C1, то по свойству площадей подобных фигур :
A1
C1
B1
h [0; H ]
Т.к. h – изменяющаяся величина, то площадь сечения можно рассматривать как функцию от переменной h, где h – расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.
3 слайд
h
H
Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить как бесконечную сумму площадей таких сечений, построенных вдоль высоты.
h [0; H ]
4 слайд
На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами, имеют равные объемы.
H
Sосн.1= Sосн.2
V1 = V2
h
Sсеч.1= Sсеч.2
5 слайд
A
B
C
B1
A1
C1
C
A1
B
Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA1B1C1.
Разобьем её на две части секущей плоскостью (A1BC).
Получились две пространственные фигуры: треугольная пирамида A1ABC и четырехугольная пирамида A1BCC1B1 (обе пирамиды с вершиной A1).
6 слайд
A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A1BCC1B1 секущей плоскостью (A1C1B) на две треугольные пирамиды: A1BB1C1 и A1BCC1 (обе пирамиды с вершиной A1).
A1
C1
B
7 слайд
A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
У треугольных пирамид A1ABC и BA1B1C1 основания равны (как противоположные основания призмы) и их высотами является высота призмы. Значит, их объемы также равны.
У треугольных пирамид A1BB1C1 и A1BCC1 основания равны (объясните самостоятельно) и у них общая высота, проведенная из вершины A1. Значит, их объемы также равны.
8 слайд
A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны:
Значит, объем пирамиды в три раза меньше объема призмы с такими же основанием и высотой, т.е.
9 слайд
h
H
h
Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием площади сечения, как функции, зависящей от расстояния h:
h [0; H ]
0
10 слайд
Рассматривая произвольную n-угольную пирамиду SA1A2…An как сумму треугольных пирамид с общей вершиной и высотой, получим формулу для нахождения объема любой пирамиды:
S
A3
An
A2
A1
H
11 слайд
Итак, для любой n-угольной пирамиды:
,где Sосн. – площадь основания пирамиды, H – высота пирамиды.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 625 829 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Никонова Ольга Матвеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.