Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Применение теоремы Пифагора и пифагоровых троек для решения геометрических задач.
Автор:
Линдфуйт Наталья,
ученица 9 класса
Руководитель:
Лонская Татьяна Александровна,
учитель математики
2 слайд
3 слайд
Объект исследования:
Теорема Пифагора и пифагоровы тройки.
Предмет исследования:
Применение пифагоровых троек для быстрого решения геометрических задач.
4 слайд
Цель: Собрать сведения о пифагоровых тройках и их применения для решения практических задач курса геометрии и задач ЕГЭ типа В 4..
Гипотеза: Мы сможем найти способы быстрого решения геометрических задач и заданий ЕГЭ типа В 4, если будем знать приемы формирования пифагоровых триад и применять таблицы пифагоровых троек.
5 слайд
Задачи:
1. Показать уникальность открытия Пифагора и дать определение понятия пифагоровых троек .
2. Описать простые способы формирования пифагоровых троек.
3. Проанализировать возможности применения теоремы Пифагора, применения полученных знаний о пифагоровых тройках для их практического применения при решении задач.
6 слайд
Методы исследования:
методы теоретического исследования (анализ литературы, поиск источников);
анализ ряда задач учебника геометрии
7-9 класса;
методы эмпирического исследования (изучение опыта решения геометрических задач, нахождение рациональных способов).
7 слайд
Практическая значимость исследования определяется:
проведением исследования по проблеме формирования пифагоровых троек (описание простых способов)
описанием опыта применения знаний о пифагоровых тройках;
разработкой рекомендаций ученикам 8-11 класса при решении задач, материалы исследования могут быть использованы учениками и учителями при преподавании курса геометрии.
8 слайд
Глава 1. Теорема Пифагора и пифагоровы тройки
1.1 Биография Пифагора
Пифагор Самосский — древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев
9 слайд
1.3 Пифагоровы тройки и способы их формирования
Пифагоровы тройки – это тройки
(x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется равенство
10 слайд
Способ 1.
Обычно пользуются таким приемом подбора решений:
произвольные взаимно простые числа m и n, (m,n)=1, m >n одно из них четное, а другое нечетное, и формируют триаду
(m²- n²; 2mn; m²+ n²) (1)
11 слайд
Триаду (a, b, c) принято называть примитивной (основной),
если a и b – взаимно простые числа, т. е. (a, b) = 1
формула (m²- n²; 2mn; m²+ n²) дает все возможные примитивные триады.
12 слайд
2. Следующий приём возник из наблюдений над некоторыми свойствами триад.
а) Пусть первое число триады (длина одного катета) – нечетное, тогда, например, для триады
(3; 4; 5) наблюдаем: 3² =4+5,
(5; 12; 13) наблюдаем: 5² =12+13,
(7; 24; 25) - 7² =24+25 и т. д.
13 слайд
Эти наблюдения показывают приём подбора:
взять нечетное число , возвести его в квадрат и результат представить в виде суммы двух последовательных чисел; слагаемые будут вторым и третьим членами триады.
Пример: триада (13;84;85),
13² = 84+85
действительно 13² + 84² = 85².
А
14 слайд
б) пусть первое число триады – четное. Тогда, например, для триады (3; 4; 5) наблюдаем: 4=2(3+5), для триады (8;15; 17) 8=2(15+17) и т. д.
Наблюдения показывают прием подбора:
Взять число, кратное 4, его квадрат разделить на 2 и результат представить как сумму двух последовательных нечетных чисел; слагаемые будут вторым и третьим членами триады.
Пример: (16; 63; 65) 16 ²=2(63+65)
Б
15 слайд
Свойства пифагоровых троек
Свойство 1. Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты.
Действительно, если два из них, например x и y имеют простой общий делитель p, то из равенства (1) следует, что на p делится и третье число z. Это противоречит тому, что тройка – простейшая.
Следствие. В простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным.
Свойство 2. В простейшей пифагоровой тройке числа x и y не могут быть одновременно нечётными.
16 слайд
Свойство 3.
Из данного пифагорова треугольника со сторонами (а, b, с) можно получить бесконечное множество подобных ему треугольников со сторонами (kа, kb, kс) , где k – произвольное натуральное число.
17 слайд
Таблица 1. Примитивные пифагоровы тройки для m≤10
18 слайд
Рассмотрим решение заданий, содержащихся в открытом банке заданий (адрес сайта http://mathege.ru/or/ege/ ).
19 слайд
Задание B4 ЕГЭ
В
С
А
13
12
5
20 слайд
В этом задании сразу угадывается тройка (6, 8, 10). Остается только по рисунку определить отношение противолежащего катета углу А к прилежащему. tgA= 6/10= 0,6
21 слайд
Решение: Быстрый способ решения основан на понимании того факта, что синус угла это есть отношение сторон треугольника и следовательно стороны его можно задать как АВ = 8х, ВС (противолежащий катет) = 7х, АС = √15.
По теореме Пифагора,
решая уравнение найдем х = 1 и тогда гипотенуза АВ = 8.
22 слайд
При решении заданий обращаем внимание, на то что подсказкой для использования той или иной «тройки» является значение синуса, косину и тангенса, обязательно необходим чертеж для решения заданий.
23 слайд
Заключение
Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни. А умы учёных продолжают искать новые варианты доказательств теоремы Пифагора.
24 слайд
Спасибо за внимание
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 609 615 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Ежова Галина Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.