Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
способов решения тригонометрического уравнения
или еще раз о
Авторы проекта:
Шишкина Диана
Диденко Инна
10 класс
sin x – cos x=1
красоте математики.
7
2 слайд
Математики видят ее в:
гармонии чисел и форм,
геометрической выразительности,
стройности математических формул,
решении задач различными способами,
изяществе математических доказательств,
порядке,
богатстве приложений универсальных математических методов.
Проблема красоты привлекала и привлекает
величайшие умы человечества.
3 слайд
Но красота математики выражается не только в красоте форм ,наглядной выразительности математических объектов, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями.
Ее привлекательность будет усиливаться за счет эмоционально-экпрессивной составляющей -
оригинальности,
неожиданности,
изящества.
Математики живут ради тех славных моментов,
когда проблема оказывается решенной,
ради моментов
озарения, восторга
4 слайд
Можно ли насладиться решением уравнения
sinx-cosx=1?
Да, если стать его исследователем!
5 слайд
Универсальные методы решения уравнения
sin x – cos x=1
Мы уже говорили о богатстве приложений универсальных математических методов. При решении уравнений одним из них является метод разложения на множители.
Можно ли применить его к решению уравнения
Sin x –cos x = 1?
На первый взгляд,кажется что нет…
А если использовать специфические тригонометрические преобразования
6 слайд
Мы не просто в правой части уравнения
получили ноль,мы выделили
выражение 1 + cos x …
Как вы думаете зачем
Рассуждаем
Преобразуем исходное уравнение
Sin x – cos x = 1
к виду
Sin x – ( 1 + cos x) = 0.
7 слайд
Ну, конечно,вы догадались !
Необходимо перейти к половинному аргументу,
применив формулу повышения степени
и формулу двойного аргумента
Итак…
8 слайд
Разложение левой части уравнения на множители
sinx-cosx=1
9 слайд
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому
однородное уравнение первой степени.
10 слайд
Делим обе его части на
что противоречит тождеству
Получим
Ответ:
11 слайд
Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса
sinx-cosx=1
Разложим левую часть по формулам двойного
аргумента, а правую часть заменим
тригонометрической единицей:
2-й способ
И так далее, как в предыдущем способе …
12 слайд
Тригонометрия удивительна тем ,что она даёт собственные оригинальные способы преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение:
Но увы, в левой части уравнения, мы видим разноименные функции. Как изменить название функции на «кофункцию» ?
Есть изящный способ!!!
Всего лишь нужно применить формулу приведения!
13 слайд
Преобразование разности ( или суммы) тригонометрических функций в произведение.
sinx-cosx=1
Запишем уравнение в виде:
Применяя формулу разности двух синусов, получим
Ответ:
3-й способ:
14 слайд
4-й способ
Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций
Так как
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат
15 слайд
В процессе решения обе части уравнения
возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима (обязательна!) проверка. Выполним ее.
Полученные решения эквивалентны объединению трех решений:
х
у
π/2
π
-π/2
16 слайд
Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними.
Проверим
Левая часть:
Правая часть:1.
Следовательно,
17 слайд
5-й способ Выражение всех функций через tgx (универсальная подстановка) по формулам:
С учетом приведенных формул уравнение
sinx-cosx=1
запишем в виде
18 слайд
Умножим обе части уравнения на
ОДЗ первоначального уравнения – все множество R.
19 слайд
При переходе к
из рассмотрения выпали значения, при которых
не имеет смысла, т.е.
Следует проверить, не является ли х=π+2πk решением данного уравнения.
Левая часть:
sin(π+2πk)-cos(π+2πk)=sinπ-cosπ=0-(-1)=1.
Правая часть: 1.
Значит, х=π+2πk, k€Z – решение уравнения.
Ответ:
20 слайд
На ряду с универсальными методами решения уравнений, есть и специфические. Наиболее ярким из них является метод введения вспомогательного угла (числа).
Благодаря этому приёму исходное уравнение легко сводится к простейшему –
Последний метод, предлагаемый нами, связан также с нестандартным преобразованием тригонометрического уравнения – возведением обеих частей в квадрат.
И хотя он является коварным в плане приобретения посторонних корней, но подкупает своим оригинальным способом сведения исходного уравнения к простейшему!
просто и красиво!
21 слайд
6-й способ
Введение вспомогательного угла (числа)
sinx-cosx=1
В левой части вынесем за скобку ( корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sinx и cosx). Получим
Ответ:
22 слайд
7-способ
Возведение обеих частей уравнения в квадрат
sinx-cosx=1
23 слайд
Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:
Проверка показывает, что первое и четвертое решения – посторонние.
Ответ:
x
0
y
π/2
π
-π/2
24 слайд
ВСЁ!
Точнее почти всё!
Осталось выбрать метод решения, победивший в номинации:
Самый простой;
Самый оригинальный;
Самый неожиданный;
Самый универсальный …
УДИВИТЕЛЬНОЕ И КРАСИВОЕ ВСЕГДА РЯДОМ!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 610 073 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Пахомова Светлана Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Мини-курс
8 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.