Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Задача Дидоны
Выполнил: Ронжина Мария Игоревна
ученица 11 Г кл. МОУ «Лицей» г. Новотроицка.
Руководитель: Поветкина Наталия Анатольевна
учитель математики высшей категории
2 слайд
Содержание
Введение. Цели, задачи, актуальность.
Введение.
Миф о Дидоне.
Практическая часть.
Способы решения изопериметрической проблемы.
Первый способ.
Второй способ.
Третий способ.
Заключение.
Литература.
3 слайд
Цели, задачи, актуальность
Мои наблюдения показали, что кот в холодную ночь сворачивается в клубочек, дождевые капли, мыльные пузыри, Солнце, Луна, наша Земля, планеты шарообразны или почти шарообразны. Почему это происходит?
Выбранную мною тему считаю актуальной, потому что экстремальные задачи не только очень важны в математике и ее приложениях, но и красивы. Одна из таких задач – задача Дидоны, которая имеет несколько различных формулировок. Вот одна из них: среди замкнутых кривых заданной длины, найти ту, которая ограничивает фигуру наибольшей площади. Эта задача имеет различные решения.
Чтобы ответить на эти вопросы я стала изучать изопериметрическую задачу.
Изопериметрическая задача – одна из основных задач вариационного исчисления, заключающаяся в следующем: среди всех кривых данной длины найти ту, для которой некоторая величина, зависящая от кривой имеет максимальное или минимальное значение.
Объект исследования: изопериметрическая проблема.
Предмет исследования: приемы решений изопериметрической проблемы.
Цель исследования: выявить и обосновать математические средства для решения этой проблемы.
Задачи:
1) выявить математические средства для решения проблемы
2) решить задачи и доказать некоторые теоремы для решения проблемы
4 слайд
Миф о Дидоне
В римской мифологии есть легенда о Дидоне.
Согласно этой легенде, Дидона была дочерью царя Тира и женой жреца Геракла Акербаса; После того как брат Дидоны Пигмалион убил ее мужа, позарившись на его богатства, Дидона была вынуждена бежать. Захватив с собой часть сокровищ мужа, она в сопровождении многочисленных спутников отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря. Ей приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона повела переговоры с берберийским царем Ярбом о продаже земли. По условию она могла взять столько земли, сколько можно «окружить бычьей шкурой». Сделка состоялась. Тогда Дидона разрезала эту шкуру на тонкие ремни, связав их воедино, и окружила изрядный кусок земли. На этом месте была основана цитадель Карфагена Бирсу. (По-гречески «бирсу» как раз и означает «шкура».)
Так гласит легенда.
5 слайд
Формулировки задачи Дидоны
Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь.
Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную площадь, найти кривую, имеющих минимальный периметр.
6 слайд
Эксперимент 1.
Диаграмма 1. Площади фигур равного периметра (50 см).
7 слайд
Эксперимент 2
Диаграмма 2. Периметры фигур равной площади (1 см2)
8 слайд
Эксперимент 3
Можно ли в листе бумаги размером с обычную страницу из тетради проделать такое отверстие, чтобы сквозь него мог пройти человек?
Если лист бумаги разрезать так, что при растяжении данной модели в результате можно получить окружность.
9 слайд
Эксперимент 3
Как мы это делали.
10 слайд
Эксперимент 3
Как мы это делали.
11 слайд
Первый способ
Задача 1.
Среди треугольников, у которых задана одна из сторон и сумма двух других, найдите треугольник с наибольшей площадью.
12 слайд
Первый способ
Задача 2. Докажите, что среди треугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет правильный.
13 слайд
Первый способ
Задача 3. Рассмотрим всевозможные n-угольники с заданными сторонами. Докажите, что среди таких многоугольников найдется многоугольник, около которого можно описать окружность, и именно этот многоугольник имеет наибольшую площадь среди рассматриваемых многоугольников.
14 слайд
Первый способ
Задача 4 Найти многоугольник с данным числом сторон и данным периметром, имеющий наибольшую площадь.
15 слайд
Первый способ
Задача5. Два правильных многоугольника, один с п, а другой с п-1 сторонами, имеют один и тот же периметр. Какой имеет большую площадь?
Задача 6 Круг и правильный многоугольник имеют один и тот же периметр. Что имеет большую площадь?
Задача 7 Круг и произвольный многоугольник имеют один и тот же периметр. Что имеет большую площадь?
Задача 8 Круг и произвольная фигура имеют один и тот же периметр. Что имеет большую площадь?
16 слайд
Второй способ.
Среди всевозможных плоских замкнутых линий заданной длины найдите ту, которая ограничивает фигуру наибольшей площади.
17 слайд
Третий способ
Лемма 1 Максимальный п-угольник должен быть равносторонним.
Лемма 2. Максимальный п-угольник должен быть равноугольным.
18 слайд
Третий способ
Лемма 3. Максимальный п-угольник существует. (утверждение, которое Зенодор считал само собой разумеющимся). Отсюда из лемм 1 и 2 следует
Теорема 1. Максимальный n-угольник является правильным n-угольником.
Лемма 4. Для любой замкнутой плоской кривой длины Р*. охватывающей площадь S* и для любого ε > 0 можно найти некоторый п-угольник, периметр Р и площадь S которого удовлетворяют неравенствам
|Р-Р*|≤ε, |S-S*|≤ε
19 слайд
Обобщение и вывод
Изучив изопериметрическую теорему на плоскости можно доказать изопериметрическую теорему в пространстве: «Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар».
Изопериметрической теореме в пространстве мы склонны верить без математического доказательства. Сама природа расположена в пользу шара. Дождевые капли, мыльные пузыри, Солнце, Луна, наша Земля, планеты шарообразны или почти шарообразны.
20 слайд
Обобщение и вывод
Немного зная физику поверхностного натяжения, можно научиться изопериметрической теореме у мыльного пузыря. Будучи сжаты окружающей средой, они стремятся в силу сцепления образовать при неизменном объеме более толстую поверхностную пленку, или потому, что они разрешили вопрос о том, какое тело при данном объеме имеет наименьшую поверхность.
То же можно сказать про кота, который в холодную ночь сворачивается в клубочек и таким образом делает своё тело насколько возможно шарообразным. Пытаясь сохранить тепло, он уменьшает свою поверхность. Таким образом, он решает задачу о теле с данным объемом и наименьшей поверхностью, делая себя возможно более шарообразным.
21 слайд
Литература:
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? – М.: Просвещение, 1967г.
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: Физматлит, 1975г.
Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. – М.: Физматгиз, 1966г.
Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. Библиотечка «Квант», вып. 56. – М.: Наука, 1986 г.
Шарыгин Д. Миф о Дидоне и изопериметрическая задача. «Квант» №1, 1997г
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 626 290 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Шломина Ольга Дмитриевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.