X

Скопируйте код и вставьте его на свой сайт.

Ширина px

Вы можете уменьшить размер презентации, указав свой размер!

Быстрое преобразование Фурье

Лекция № 12 Быстрое преобразование Фурье Нахождение спектральных составляющих...
Быстрое преобразование Фурье Основной принцип всех этих алгоритмов заключаетс...
Быстрое преобразование Фурье Рассмотрим алгоритмы БПФ с основанием 2, когда д...
Быстрое преобразование Фурье Разобьем на две -точечные последовательности, со...
Быстрое преобразование Фурье Так как , то предыдущее выражение можно записать...
Быстрое преобразование Фурье Схема БПФ
Быстрое преобразование Фурье Далее можно вычислить каждое точечное ДПФ разбие...
Быстрое преобразование Фурье Продолжим описанную процедуру разбиения исходной...
Быстрое преобразование Фурье Число требуемых при этом пар операций «умножение...
Быстрое преобразование Фурье Из рассмотренного алгоритма следует, что на кажд...
Быстрое преобразование Фурье Вышеприведенные соотношения подсказывают метод с...
Класс
Автор

Быстрое преобразование Фурье

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Лекция № 12 Быстрое преобразование Фурье Нахождение спектральных составляющих дискретного комплексного сигнала непосредственно по формуле ДПФ требует комплексных умножений и комплексных сложений. Так как количество вычислений, а следовательно, и время вычислений приблизительно пропорциональны , то при больших количество арифметических операций весьма велико. Поэтому нахождение спектра в реальном времени даже для современной вычислительной техники представляет сложную задачу. По этой причине представляет значительный интерес вычислительные процедуры, уменьшающие количество умножений и сложений.

2 слайд

Быстрое преобразование Фурье Основной принцип всех этих алгоритмов заключается в разложении операций вычисления ДПФ сигнала длины на вычисление преобразований Фурье с меньшим числом точек. Разделив анализируемый набор отсчетов на части, вычисляют их ДПФ и объединяют результаты. Такие процедуры получили название алгоритмов быстрого преобразования Фурье БПФ. При реализации БПФ возможно несколько вариантов организации вычислений в зависимости от способа деления последовательности отсчетов на части (прореживание по времени или по частоте) и от того, на сколько фрагментов производится разбиение последовательности на каждом шаге (основание БПФ).

3 слайд

Быстрое преобразование Фурье Рассмотрим алгоритмы БПФ с основанием 2, когда длина последовательности , где целое число. БПФ с прореживанием по времени. Рассмотрим идею БПФ с прореживанием по времени на примере деления набора отсчетов пополам. Введя общепринятое в литературе обозначение для дискретных экспоненциальных функций: Запишем ДПФ сигнала в виде:

4 слайд

Быстрое преобразование Фурье Разобьем на две -точечные последовательности, состоящие из отсчетов с четными и нечетными номерами соответственно. В результате получим: Заменяя индексы суммирования на при четном и на при нечетном , придем к выражению:

5 слайд

Быстрое преобразование Фурье Так как , то предыдущее выражение можно записать в виде: (12.1) Каждая из сумм (12.1) является точечным ДПФ: первая – для четных отсчетов исходной последовательности, а вторая – для нечетных. Несмотря на то, что индекс в формуле (12.1) распространяется на значений , каждая из сумм требует вычислений только для , так как и периодичны по с периодом . Объединение же этих сумм приводит к точечному ДПФ .

6 слайд

Быстрое преобразование Фурье Схема БПФ

7 слайд

Быстрое преобразование Фурье Далее можно вычислить каждое точечное ДПФ разбиением сумм на два точечных ДПФ. Таким образом, и могут быть вычислены в виде:

8 слайд

Быстрое преобразование Фурье Продолжим описанную процедуру разбиения исходной ДПФ на преобразования меньшей размерности, пока не останутся только двухточечные преобразования. Двухточечные ДПФ (их число равно ) могут быть вообще вычислены без использования операций умножения. Действительно, для двухточечной последовательности согласно определению ДПФ имеем два спектральных отсчета:

9 слайд

Быстрое преобразование Фурье Число требуемых при этом пар операций «умножение – сложение» можно оценить как . Таким образом, вычислительные затраты по сравнению с непосредственным использованием формулы ДПФ уменьшается в раз. При больших это отношение становится весьма велико. Например, при достигается более чем 100-кратное ускорение, но и это еще не предел. Количество комплексных умножений в алгоритме БПФ с прореживанием по времени может быть сокращено вдвое.

10 слайд

Быстрое преобразование Фурье Из рассмотренного алгоритма следует, что на каждой ступени вычислений происходит преобразование одного множества из комплексных чисел в другое множество из комплексных чисел. Будем считать входным массивом на ступени вычисления , а – выходным массивом на ступени вычислений. С учетом введенных обозначений имеем:

11 слайд

Быстрое преобразование Фурье Вышеприведенные соотношения подсказывают метод сокращения числа комплексных умножений вдвое. Так как , эти соотношения можно записать в виде: Так как на каждую ступень разбиения имеется таких операций, а общее число ступеней равно , то общее число пар операций «умножение-сложение» сокращается до .