Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Федеральное государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Димитровградский технический колледж»
Проект
по теме: «Трансцендентные кривые»
Выполнил: Семенов Алексей
Руководитель: Кузьмина В.В.
2 слайд
Содержание
Класс трансцендентных кривых
Определение трансцендентной кривой
Квадратриса
Трактриса
Цепная линия
Циклоида
Архимедова спираль
Гиперболическая спираль
Логарифмическая спираль
Спираль Корню, клотоида
Трохоида
Гипоциклоида
Эпициклоида
3 слайд
Большой интересный класс составляют трансцендентные кривые
К ним относятся графики тригонометрических функций (синусоида, тангенсоида), логарифмической функции, показательной функции, гиперболических функций, а также много других линий, которые будут рассмотрены в дальнейшем.
4 слайд
Трансцендентная кривая
Трансцендентная кривая - это кривая, уравнение которой в декартовой системе координат не является алгебраическим
( в других системах координат может быть алгебраическим.)
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
5 слайд
Квадратриса
Квадратриса (или Квадратрисса) — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием (V век до н. э.), использовалась в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла.
6 слайд
Уравнения
В полярных координатах:
В прямоугольных координатах можно записать уравнение квадратрисы в следующем виде:
7 слайд
Трактриса
Трактриса (линия влечения) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.
Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является частью кривой погони при равной скорости догоняющего и убегающего.
8 слайд
Уравнения
Параметрическое описание:
Уравнение в декартовых координатах:
9 слайд
Цепная линия
Цепная линия — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однородном гравитационном поле.
Является плоской трансцендентной кривой.
Уравнение в декартовой системе координат
10 слайд
Краткая историческая справка
Поверхность, образованная вращением дуги цепной линии вокруг оси Оx, называется катеноидом.
Цепные линии используются в расчетах, связанных с провисанием проводов, тросов и т.п. Форму кривой провисания впервые рассматривал Г. Галилей (1638), который считал ее параболой. Истинная форма кривой найдена Г. Лейбницем, Я. и И. Бернулли, Х. Гюйгенсом.
Х. Гюйгенс предложил термин «Цепная линия»
11 слайд
Применение
Арки
Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома.
Мосты
Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.
Стоит заметить, что цепь подвесного моста имеет форму параболы, а не цепной линии. Это связано с тем, что пролёт моста намного тяжелее цепи.
12 слайд
ЦИКЛОИДА
Циклоида (от греч.— круглый) — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.
13 слайд
Уравнения
Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r.
Циклоида описывается параметрическими уравнениями:
Уравнение в декартовых координатах:
Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:
x = rt − rsint,
y = r − rcost.
14 слайд
У циклоиды масса любопытнейших свойств. Оказывается, например, что циклоида является кривой наибыстрейшего спуска. Иначе говоря, скатываясь по снежной горке, профиль которой выполнен в виде циклоиды, мы окажемся у основания горки быстрее, чем в случае другой формы горки. Траектория конца маятника, как и ограничивающие его боковые "щеки", представляют из себя циклоиду
15 слайд
Архимедова спираль
Архимедова спираль — плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV
с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O.
Другими словами, расстояние
ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV.
Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.
16 слайд
Вычисление длины дуги Архимедовой спирали
Бесконечно малый отрезок дуги dl равен (см. Рис.):
,
где dρ — приращение радиуса ρ, при приращении угла φ на dφ. Для бесконечно малого приращения угла dφ, справедливо:
.
Поэтому:
так как ρ = kφ и
dρ = kdφ
или
.
Длина дуги L равна интегралу от dl по dφ в пределах от 0 до φ:
.
17 слайд
Спирали в природе и технике
Спирали в нашей жизни встречаются на каждом углу от простых вентиляторов и тисков, до паутины и винтов моторных лодок.
18 слайд
Спирали в природе и технике
19 слайд
Спирали в природе и технике
20 слайд
Спиральные галактики
21 слайд
Гиперболическая спираль — плоская трансцендентная кривая.
Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так:
22 слайд
Уравнение гиперболической спирали в декартовых координатах:
Параметрическая запись уравнения:
Спираль имеет асимптоту y = a: при t стремящемся к нулю ордината стремится к a, а абсцисса уходит в бесконечность:
23 слайд
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ - плоская трансцендентная кривая, пересекающая все радиусы-векторы под одним и тем же углом (рис.1). Уравнение в полярных координатах:
При a > 1 и
логарифмическая
спираль развертывается против хода
часовой стрелки, при
спираль закручивается по ходу
часовой стрелки,
стремясь к своей асимптотической
точке O.
Если a < 1, логарифмическая
спираль закручивается против хода
часовой стрелки.
24 слайд
Логарифмическая спираль относится к псевдоспиралям. Логарифмическая спираль переходит в себя при линейных преобразованиях плоскости:
её Эволюта, подера – также логарифмическая спираль. При стереографической проекции плоскости на сферу логарифмическая спираль переходит в локсодромию. Логарифмическая спираль широко используется в технике:
25 слайд
Логарифмическая спираль выполняет профиль вращающихся ножей и фриз, зубчатых передач и др.
По логарифмической спирали очерчены некоторые раковины, по дугам, близким к логарифмической спирали, расположены семечки в подсолнухе, чешуйки в шишках и т.д.
26 слайд
Клотоида или Спираль Корню —
кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги.
Она используется как переходная дуга в дорожном строительстве. Когда участок дороги имеет форму клотоиды, руль поворачивается равномерно. Такая форма дороги позволяет преодолевать поворот без существенного снижения скорости. Клотоида применялась Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.
27 слайд
Описывается параметрическими уравнениями
где , где R — радиус неподвижной окружности,
r — радиус катящейся окружности.
Модуль величины k определяет форму гипоциклоиды. При k = 2 гипоциклоида представляет собой диаметр неподвижной окружности, при k = 4 является астроидой.
28 слайд
Трохоида
Трохоида (от греч. τροχοειδής — колесообразный) — плоская трансцендентная кривая, описываемая параметрическими уравнениями
x = rt − hsint,
y = r − hcost.
Представляет собой траекторию точки, жёстко связанной с окружностью радиуса r, катящейся без скольжения по прямой (в приведённом примере такой прямой является горизонтальная ось координат). Расстояние точки от центра окружности — h.
Если h = r трохоида переходит в циклоиду.
При h > r трохоиду называют удлинённой циклоидой, а при h < r — укороченной циклоидой.
29 слайд
Гипоциклоида
Гипоциклоида (от греческих слов ὑπό — под, внизу и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.
30 слайд
Эпициклоида
Эпициклоида (от греч. ὲπί — на, над, при и κυκλος — круг, окружность) — плоская кривая,
образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по другой окружности.
31 слайд
Уравнения
Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен R, радиус катящейся по ней окружности равен r, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно :
где α — угол поворота эпициклоиды относительно центра неподвижной окружности, — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси OX.
Можно ввести величину , тогда уравнения предстанут в
виде
32 слайд
Применение
Последнее уравнение выражает такое кинематическое свойство эпициклоиды: если дуга обычной эпициклоиды перекатывается без скольжения по прямой, то центр кривизны точки касания двигается по эллипсу; центр эллипса лежит в той точке прямой, через которую перекатывается вершина эпициклоиды.
33 слайд
Информационные источники
Литература
1. Большой энциклопедический словарь «Математика»,
Гл. редактор Ю.В. Прохоров, Научное изд-во «Большая Российская Энциклопедия», М.: 1998
2. Д.В. Клетеник Сборник задач по аналитической геометрии под ред. проф. Н.В.Ефимова, Государственное изд-во физико-математической литературы, М.: 1960
3. Математическая энциклопедия. Главный редактор И.М. Виноградов, т.3 – М.: «Советская энциклопедия», 1982
Интернет ресурсы:
www.college.ru
www.gee.ru
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 655 343 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Телелейко Галина Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.