X

Скопируйте код и вставьте его на свой сайт.

Ширина px

Вы можете уменьшить размер презентации, указав свой размер!

Ряды Фурье

Ряды Фурье Лекции 15, 16
Определение ортогональной системы функций Тригонометрическая система функций ...
Примеры Рассмотрим несколько примеров таких интегралов. в силу нечетности под...
Определение ряда Фурье Тригонометрический ряд , коэффициенты которого вычисле...
Определение кусочно-монотонной функции Функция f(x) называется кусочно-моното...
Достаточный признак сходимости ряда Фурье Если периодическая с периодом 2 фун...
Разложение в ряды Фурье четных функций Если f(x) –четная функция, то функции ...
Продолжение получим Тогда имеем: , где для четной функции.
Ряд Фурье нечетной функции Если функция f(x) является нечетной и периодическо...
Ряд Фурье периодической с периодом 2l функции Если функция f(x) имеет период ...
Продолжение Разложим в ряд Функцию , а затем вернемся к старой переменной. Им...
Ряд Фурье четной функции Аналогично тому, как получается ряд Фурье периодичес...
Ряд Фурье нечетной функции Если функция является нечетной, то ее ряд Фурье яв...
Разложение в ряд Фурье непериодических функций Если функция не является перио...
Пример разложения функции в ряд Фурье 1).Разложить функцию у=х в ряд Фурье а)...
Решение Тогда , где Вычислим интеграл по частям:
Продолжение Таким образом, , а , где или де ли
Продолжение Доопределим теперь f(x) до периодической функции четным образом. ...
Продолжение При четном n выражение в скобках равно нулю и, значит, , а при – ...
Класс
Автор

Ряды Фурье

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Ряды Фурье Лекции 15, 16

2 слайд

Определение ортогональной системы функций Тригонометрическая система функций называется ортогональной на отрезке [- , ] и на всяком отрезке длины 2 тоже в том смысле, что интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а от одинаковых-π .

3 слайд

Примеры Рассмотрим несколько примеров таких интегралов. в силу нечетности подынтегральной функции.

4 слайд

Определение ряда Фурье Тригонометрический ряд , коэффициенты которого вычислены по формулам Фурье, т. е. называется рядом Фурье периодической с периодом 2π функции.

5 слайд

Определение кусочно-монотонной функции Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы, в каждом из которых функция монотонна. Примеры кусочно-монотонных функций:1) , 2)sinx, 3)cosx .

6 слайд

Достаточный признак сходимости ряда Фурье Если периодическая с периодом 2 функция 1) кусочно-монотонна, 2) непрерывна на отрезке [- , ] или имеет на нем конечное число точек разрыва 1-го рода, то ряд Фурье этой функции сходится во всех точках этого отрезка. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции, а в точках ее разрыва сумма ряда равна полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции, т.е., если x = c – точка разрыва, то .

7 слайд

Разложение в ряды Фурье четных функций Если f(x) –четная функция, то функции являются нечетными, а функции -четными при любых п=1,2,…. Тогда в силу свойства определенного интеграла : , если f(x) – нечетна, и , если f(x) – четна

8 слайд

Продолжение получим Тогда имеем: , где для четной функции.

9 слайд

Ряд Фурье нечетной функции Если функция f(x) является нечетной и периодической с периодом 2π , то ее ряд Фурье имеет вид: , где коэффициенты

10 слайд

Ряд Фурье периодической с периодом 2l функции Если функция f(x) имеет период 2l , где l-любое число, большее нуля, то ее ряд Фурье можно получить из ряда Фурье периодической с периодом 2 π функции, положив . Тогда функция имеет период 2 π. В самом деле: π

11 слайд

Продолжение Разложим в ряд Функцию , а затем вернемся к старой переменной. Имеем , где , ,

12 слайд

Ряд Фурье четной функции Аналогично тому, как получается ряд Фурье периодической с периодом 2π функции, можно получить ряд функции с периодом 2l. Тогда имеем следующие формулы: , где

13 слайд

Ряд Фурье нечетной функции Если функция является нечетной, то ее ряд Фурье является рядом по синусам и его можно записать в следующем виде: , где

14 слайд

Разложение в ряд Фурье непериодических функций Если функция не является периодической, то эту функцию доопределяют до периодической. Затем получившуюся периодическую функцию раскладывают в ряд Фурье, который будет сходиться к функции f(x) на промежутке, где задана эта функция, если, конечно, она удовлетворяет условиям достаточного признака сходимости ряда Фурье. При этом доопределить функцию до периодической можно различными способами. В частности, ее можно доопределить как четную или как нечетную. Как это можно сделать, рассмотрим на конкретном примере.

15 слайд

Пример разложения функции в ряд Фурье 1).Разложить функцию у=х в ряд Фурье а) по синусам и б) по косинусам. Доопределим функцию до периодической нечетным образом.

16 слайд

Решение Тогда , где Вычислим интеграл по частям:

17 слайд

Продолжение Таким образом, , а , где или де ли

18 слайд

Продолжение Доопределим теперь f(x) до периодической функции четным образом. Тогда .

19 слайд

Продолжение При четном n выражение в скобках равно нулю и, значит, , а при – нечетном, т.е. при , . Тогда Мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке (0, ).