X

Скопируйте код и вставьте его на свой сайт.

Ширина px

Вы можете уменьшить размер презентации, указав свой размер!

Дифуры 1го порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО
Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные ура...
Встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: Уравнения с ра...
Сначала вспомним обычные уравнения Они содержат переменные и числа
Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел, котор...
Диффуры устроены примерно так же Дифференциальное уравнение первого порядка в...
Что значит решить дифференциальное уравнение? В некоторых уравнениях 1-го пор...
Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций,...
Пример Решить дифференциальное уравнение Полный боекомплект. С чего начать ре...
На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить ...
Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – тольк...
Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:
Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интег...
То есть, ВМЕСТО записи обычно пишут: Используем свойство логарифмов и получае...
Спасибо за внимание Выполнил: ст.гр. СО-11 Макаренко Н.Н.
Класс
Автор

Дифуры 1го порядка

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО

2 слайд

Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Придётся много интегрировать. И дифференцировать.

3 слайд

Встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: Уравнения с разделяющимися переменными, Однородные уравнения, Линейные неоднородные уравнения,

4 слайд

Сначала вспомним обычные уравнения Они содержат переменные и числа

5 слайд

Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению

6 слайд

Диффуры устроены примерно так же Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит: независимую переменную зависимую переменную (функцию) первую производную функции

7 слайд

Что значит решить дифференциальное уравнение? В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – ,  и т.д.

8 слайд

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид ( – произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения.

9 слайд

Пример Решить дифференциальное уравнение Полный боекомплект. С чего начать решение? В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно! Итак:

10 слайд

На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п. Дифференциалы  и  – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

11 слайд

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы». Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

12 слайд

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:

13 слайд

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу  достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть. Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.  Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть,  – это общий интеграл. Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение. Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

14 слайд

То есть, ВМЕСТО записи обычно пишут: Используем свойство логарифмов и получаем: Теперь логарифмы и модули можно убрать: Ответ: общее решение:

15 слайд

Спасибо за внимание Выполнил: ст.гр. СО-11 Макаренко Н.Н.